1 Matematyka to nie jest język
Język potoczny ma nośnik akustyczny. Każdy taki język ma charakterystyczne fonemy. Jest ich kilkadziesiąt. Można powiedzieć z grubsza, że odpowiadają one literom, ale to jest tylko pierwsze przybliżenie. Te charakterystyczne dźwiękowe sygnały pozbawione są znaczenia, ale są dobrze rozróżnialne na podstawie przeciwstawień np. wysokie – niskie, dźwięczne – bezdźwięczne, krótkie – długie, itd. Te wzajemne przeciwstawienia generują strukturę, która jeszcze nie stanowi podstawy akustycznej mowy. Dopiero różne zestawy tych fonemów, ustawienia w ciąg na linii czasu dają morfemy, to znaczy jednostki znaczące i na ich podstawie tworzy się zdania, czyli sensowne przekazy znaczeń, z których następnie buduje się teksty.
Czy matematyka ma coś z tym wspólnego? Na pozór nie.
2 Matematyka to język
A jednak może tak? Spójrzmy bliżej na teksty matematyczne. Zauważymy, że nie są to teksty akustyczne. Matematycy najchętniej porozumiewają się za pomocą symboli wizualnych: rysują piszą, machają rękami, coś przy tym mówią, ale częściej trzeba zwracać uwagę na to, co piszą lub rysują. Nie spotkałem matematyka, który trzymałby ciągle ręce w kieszeni w czasie wykładu. Używają symboli wizualnych nie tylko gdy ich rozważania dotyczą geometrii, ale również, gdy rozprawiają o liczbach i o algebrze. Matematyk, który nie ma symbolicznej „kredy w kieszeni” należy do wyjątków. Dzisiaj jest to już raczej nie kreda, a dobry laptop z "chytrą", elektroniczną tablicą z możliwością połączenia z internetem. Gdzie są te matematyczne fonemy, morfemy, zdania, teksty?
Spójrzmy na najprostszy przypadek: liczby. W każdym języku mamy jakieś słowa do oznaczania liczb, czyli liczebniki. Ale oprócz tego, gdzie tylko pojawił się alfabet, tuż za tym pojawiają się symbole wizualne do oznaczania liczb, czyli wizualne liczebniki. W naszej kulturze mamy w języku związanym z liczbami alfabet, czyli cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i z tych cegiełek budujemy liczebniki. Oprócz tego w naszej kulturze funkcjonuje jeszcze jeden, znacznie starszy system do oznaczania liczb, liczebniki rzymskie. Te stare liczebniki nie nadają się tak dobrze do rachowania, jak liczebniki dziesiętne. Używamy ich rzadziej. Pierwsi, związani z naszą kulturą matematycy, czyli pitagorejczycy nie mieli tak dobrych liczebników do oznaczania liczb. Oznaczali te liczby po prostu kamyczkami. Układając te kamyczki to w pary, to w prostokąty, to kwadraty. Zanotowali szereg zaskakujących dla nas obserwacji. Mogli to zrobić, bo w ich języku te obserwacje były „łatwo widoczne”. Każda taka obserwacja to była „theorema”, czyli po grecku „to co zobaczone”, czyli „widzenie” a po łacinie znaczyłoby to „iluminacja”.
Nasze powszechnie używane liczebniki zaczęły wchodzić do Europy około roku 1000. Ale pierwsza księga rozpowszechniająca te liczebniki „Liber Abaci” pojawiła dopiero około roku 1200. Natomiast dopiero w wieku XVI i XVII rozpowszechniły się te liczebniki w Europie na dobre w kręgach wykształconych ludzi. Do powszechnego nauczania wdarły się jeszcze później.
A jak to było z geometrią i innymi działami matematyki? Pierwsze, przełomowe obserwacje, zauważające zbiory nieskończone poczynione były przez Galileusza. Zaczął on mówić i pisać o zbiorach nieskończonych. Słynna się stała „kulka Galileusza”, która wystukiwała mu na równi pochyłej, że liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, … jest tyle ile kwadratów liczb naturalnych: 1, 4, 9, 16, … Opowiadał o niej Sierpiński na swoich wykładach [Galileusz 000]
Jego uczniowie pisali i mówili już swobodnie o zbiorach nieskończonych, Cavalieri sformułował nawet, używając nieskończonej rodziny „niepodzielnych odcinków” pewną zasadę, która otworzyła drogę do obliczeń powierzchni ograniczonej pewnymi krzywymi liniami. To był ważny krok na drodze do rozważania granic, rachunku całkowego i różniczkowego.
Jeszcze w XVII wieku dopuszczalne były rysunkowe argumentacje i najważniejsze było zobaczenie dowodu „czarno na białym”. Teorematy siedemnastowieczne, to były przede wszystkim „widzenia”. Są na to „dowody rzeczowe”. Logiczna ścisłość przyszła znacznie później. Dopiero w drugiej połowie XIX wieku.
Dzisiejsza matematyka posługuje się wieloma językami. Każdy z nich ma pewne pole semantyczne, które pilnuje sensu, pewien alfabet i słownik i precyzyjnie określone metody wnioskowania. Ale język, to nie tylko teksty złożone z symboli, które łączą się w zdania. To są te symbole i ludzie, którzy się nimi posługują do porozumiewania się. Ci ludzie tworzą pewną społeczność, która zakreśla granice tego języka i nadaje sensowność zdaniom i tekstom. Język jest więc kategorią biologiczną.
Co to jest język?
W każdym dostatecznie rozbudowanym systemie znaków, którymi posługuje się człowiek – czy też pewna społeczność, pojawiają się inne niż pierwotnie wytworzone połączenia znaków i powstają nowe znaczenia i hierarchie znaczeń. To jest podstawowa różnica, która dzieli języki, którymi posługują się ludzie do porozumiewania się między sobą, i języki formalne, takie jak języki, którymi człowiek przekazuje polecenia maszynom, komputerom, komputerowym programom i może w przyszłości będzie przekazywał jeszcze czemuś. Te nowe struktury to są „figury stylu”, przede wszystkim dwie podstawowe: metafory i metonimie. Te figury i związane z nimi gry językowe są zawsze obecne w matematyce „in statu nascendi”.
Są takie podstawowe sprawy do wyjaśnienia:
1 co to są metafory i metonimie w matematyce, jakie jest znaczenie tych figur dla tych, co uczą się matematyki i tych, co matematyki chcą uczyć innych;
2 co to są gry językowe w sensie Wittgensteina i jakie jest znaczenie tych gier w uczeniu się jakiegokolwiek języka, w tym również języka „matematyki szkolnej” i w ogóle języków matematyki.
3 jaki jest związek tego spojrzenia na matematykę i jej uczenie się i nauczanie z pewnymi teoretycznymi zasadami ogólnie przyjętymi w dydaktyce matematyki.
literatura
H. Bauersfeld, W. Zawadowski, Metaphors and Metonymies in the Teaching of Mathematics, Occasional Paper 11, Institut für Didaktik der Mathematik, Bielefeld, August 1981
<span > - Metafory i metonimie w nauczaniu matematyki, Dydaktyka Matematyki, tom 8, 1988, s. 155-186
<span >Galileo Galilei, Rozmowy, dowodzenia matematyczne (1638), przekład F.K. Wydawnictwo Kasy im. Mianowskiego 1930, str. 31, 32, 133
E. Jagiełło, Gra Super Farmer Borsuka, strategie postępowania uczniów, NiM 39, s. 25-27, jesień 2001
C. Kadej, „Słoń – czyli do czego przydaje się metonimia”, Matematyka 1999 nr 2,
- Konkretyzacja, czy metonimia? Matematyka 2000, nr 1
- Zabawa w metonimie, NiM 36, s. 7-8 , zima 2000
K. Mostowski, Metafora Krygowskiej, NiM 48 s. 15-17, zima 2003
- Matematyka a język, Sprawozdania z konferencji „Interakcja teorii i praktyki w nauczaniu matematyki”, WSP Rzeszów, 1997
- Interpretacja i nadinterpretacja, Matematyka,
M. Otte, W. Zawadowski, Creativity, Educational Studies in Mathematics, vol. 16, s. 95-97
D. Pimm, Metaphores and Analogy in Mathematics, For the Learning of Mathematics, vol. 1, s 47‑50
A. Sfard, What's all the Fuss about gestures? artykuł w specjalnym nr Educational Studies in Mathematics, Nr 70 2, marzec 2009, Gestures and Multimodality in the Construction of Mathematical Meaning, L.Edward, L.Radford, F. Alzarello, editors
M. Wołos, Koncepcja gry językowej Wittgensteina w świetle badań współczesnego językoznawstwa, universitas, Kraków 2002
W. Zawadowski, Czy matematyka daje nam język? Matematyka 1996, nr 3 (259) s. 140-144
Dodatek
Metafora Krygowskiej i projektowanie dydaktyczne: uczyć trzeba tak matematyki jakby to był język, ale język przede wszystkim wizualny
Przystępując do projektowania nauczania pewnego tematu matematycznego powinniśmy zawsze pamiętać o pewnych ogólnych zasadach takiego planowania. Będziemy się tu powoływać na trzy zasady planowania matematyki:
Zasadę Ogólności Dienesa, i zjawisko wdrukowania
Metaforę Krygowskiej, opisującą nauczanie czynnościowe matematyki
i Zasadę Równoległości Reprezentacji (co odpowiada Multiple Embodiment Principle Lakoff’a). Pozostaniemy na razie przy tych trzech zasadach i omówimy zjawisko wdrukowania, występujące przy uczeniu się matematyki.
Zasada Dienesa mówi, że jeżeli chcemy osiągnąć pewien stopień ogólności danego tematu zarówno w teorii, jak i w posługiwaniu się pojęciami tego tematycznego kręgu, to od tego wybranego stopnia ogólności trzeba zaczynać. A jak zaczynać wskazuje Metafora Krygowskiej. Zatrzymywanie się na szczególnych przypadkach niesie ryzyko, że wielu naszych uczniów przywiąże się na bardzo długo do tego początkowego stopnia ogólności danego pojęcia albo na zawsze. Na przykład bardzo wielu ludzi dorosłych wiąże funkcje trygonometryczne z proporcjami w trójkącie prostokątnym i z tych trójkatów odczytuje różne własności, chociaż mówi „funkcje trygonometryczne”. Posługiwanie się wykresami tych funkcji jest dla nich nienaturalne, chociaż pamiętają przybliżony kształt tych wykresów. Inni pozostają na etapie „pierwszej ćwiartki układu współrzędnych” i nie mogą się od tego uwolnić. Jeszcze inni tak długo zajmowali się w początkowych etapach szkolnych tylko liczbami całkowitymi dodatnimi, że wszelkie inne są dla nich sztucznymi tworami, a sprawność matematyczną wiążą tylko z wykonywaniem czterech działań arytmetycznych „w ołówku” na papierze w kratkę.
Metafora Krygowskiej mówi o wydobywaniu operacji konkretnych z każdej definicji, twierdzenia i dowodu i wysuwa na pierwszy plan konieczność zaplanowania pola działania dla uczniów, na którym mogliby wykazać się pewną inicjatywą oraz postawą generatywną, a nawet twórczą.
Zasada reprezentacji równoległych mówi o potrzebie jednoczesnego posługiwania się wieloma reprezentacjami danego pojęcia i ich powiązaniami i wiąże z tym możliwość osiągania pewnego zamierzonego poziomu ogólności pojęć matematycznych, przez posługiwanie się tymi reprezentacjami tak, jak językiem: do porozumiewania się, do przewidywania, do wyjaśniania w jednej z tych reprezentacji czegoś, co jest problemem w innej z nich.
Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."
 020_020_Celina Kadej metonimia.pdf | [ ] | 134 kB |
| 020_C Kadej, Zabawa w Metonimie NiM 36, 2000.pdf | [ ] | 101 kB |
| 020_Covariant and contravariant representations.pdf | [ ] | 56 kB |
| 020_Metafory i metonimie w nauczaniu matematyki, HB+WZ, 1986.pdf | [ ] | 739 kB |
| 020_Usiskin_Z.pdf | [ ] | 325 kB |
 020_WSZYSTKO JASNE.doc | [Ciekawe spostrzezenie, o mechanizmie wydobywania znaczen z czytanego tekstu] | 19 kB |
 liczby zolwie2.jpg | [ ] | 168 kB |