Metafora Krygowskiej

Roczniki Forum Dydaktyków Matematyki

Seria I: FORUM DYDAKTYKI MATEMATYKI

Wacław Zawadowski (Warszawa)

Moje rozmowy z Krygowską

W tej wypowiedzi w Barcelonie musiałem się mocno streszczać, aby zmieścić się w ciągu 10 minut. Wymieniłem więc tylko trzy tematy, trzy sprawy.

• Krygowska o rozumieniu.

• Metafora Krygowskiej, czyli pewna zasada projektowania nauczania matematyki.

• Troska Krygowskiej.

Najszerzej rozpowszechnioną klasyfikację odnoszącą się do rozumienia podał Skemp. Rozróżnił i przeciwstawił rozumienie instrumentalne, rozumieniu relacyjnemu [Mathematics Teaching 77, 1976]. Krygowska natomiast rozróżniała trzy rodzaje rozumienia. Rozumienie Formalne, rozumienie Operatywne,

i rozumienie Strukturalne. [Zarys Dydaktyki Matematyki, tom II str 20, 1980].

Różnym niuansom rozumienia poświęcona jest spora literatura, m.i. monografia A. Sierpińskiej „Understanding Understanding".

Można podać następująca krótką charakterystykę rozumienia formalnego.

To jest rozumienie oparte na to definicjach, które funkcjonują bez odwoływania się do przykładów, oraz formalne powiązania logiczne, założenia, wnioski (rzadko używane w matematyce szkolnej bez podawania przykładów). Rozumienie operatywne, to umieć coś zrobić zachowując pewien ład, umieć wykonać pewien przepis z dobrym skutkiem, umieć wykonać pewien algorytm bez przywoływania jego definicji. (przykłady: cztery działania arytmetyczne pisemnie lub w pamięci, rachowanie na ułamkach, rozwiązywanie równań według znanych regułek itd.) Rozumienie strukturalne, to umieć ogarnąć całe pole działania, rozpoznawać struktury podobne, posługiwać się wieloma reprezentacjami tej samej struktury, całą mapą drogową (tak to się dzisiaj modnie i metaforycznie mówi). Kategoryzacje Skempa i Krygowskiej są różne. Kategoryzacja Skempa stała się popularna, bo jest prosta. Przeciwstawienia są łatwe do zrozumienia i zapamiętania.

Trzy kategorie Krygowskiej są trudniejsze do przedstawienia graficznego.

Są to trzy pary przeciwstawień. Powstaje obraz trójkątny, gdzie każdy punkt, nie tylko wewnętrzny trójkąta, przedstawia odpowiednią mieszankę. Dla Krygowskiej całościowy obraz nawet przybliżony był ważny (współrzędne barycentryczne dają odpowiednie wagi punktom tego trójkąta i poza nim). A może

struktura jest kołowa? To jest inne spojrzenie na te trzy rozumienia rozumienia. Każde z nich ma swoją wartość. Rozumienie matematyki, tak jak rozumienie języka naturalnego jest trudne do oceny prostym testem, lub egzaminem pisemnym w dużej populacji.

Potrzebna jest do tego ogromna maszyneria biurokratyczna. Jest natomiast łatwe metodą interakcji, z kompetentnym „rodzimym użytkownikiem". Czy nauczyciele i egzaminatorzy są „kompetentnymi użytkownikami matematyki"? A nauczyciele nauczycieli? Trzeba takie pytaniea stawiać. Troska Krygowskiej o rozumienie strukturalne była wyraźnie zaznaczona u Krygowskiej. Niestety nie zawsze było to zrozumiane.

Metafora Krygowskiej [Zarys Dydaktyki Matematyki, tom I s. 127-129, 1979] mówi, że przystępując do projektowania nauczania pewnego fragmentu matematyki, który oznajemy za ważny, trzeba najpierw wybrać docelowy poziom ogólności i z tego abstrakcyjnego materiału wydobyć konkretne czynności

dla ucznia z każdej definicji, twierdzenia, dowodu. Zaprojektować konkretne pole działania dla ucznia ukazujące z grubsza wybraną strukturę. Każdą ope rację łączyć z operacją odwrotną. Te konkretne czynnosci dla ucznia powinny dobrze oddawać strukturę docelową, a każda czynność lub operacja powiązana powinna być z czynnościa odwrotną, która annuluje skutek tej, do której jest czynnością odwrotną. Mówiąc w terminach piażetowskich, te konkretne akcje powinny stanowić 'ugrupowanie'. Dzisiaj możemy podać dobry przykład ugrupowania w sensie Piażeta. Pisanie na komputerze z edytorem tekstu jest dobrym przykładem ugrupowania. Do każdej akcji jest tam akcja '„undo". Natomiast pisanie długopisem w zeszycie ugrupowaniem nie jest. Pisanie długopisem jest trwałe. Wszelkie ślady wycierania zostawiają w zeszycie ślad. Gdy rozważamy matematykę jako język, to troska o rozumienie strukturalne jest zrozumiała. Przekazy matematyczne są wizualne matematyka to jest język wizualny. Języki naturalne są akustyczne. Wydobywanie konkretnych akcji z każdej definicji, twierdzenia, dowodu jest podobne do projektowania gier językowych w celu budowania znaczeń w sensie Wittgensteina [Dociekania Filozoficzne, 1958, 1998]. Jest podobne do spostrzegania poprzez język struktur ogólnych na konkretach [George Lakoff: Women, Fire, and Dangerous Things, What Categories Reveal about the Mind, The University of Chicago Press, 1998].

Troska Krygowskiej [Zarys Dydaktyki Matematyki, tom I str 80, 1979] jest wyrazem niezadowolenia i niepokoju, że w toku nauczania matematyki w szkole często uczymy umiejętności i „utrwalamy" postawy, których na następnych etapach trzeba 'oduczać'. Dla zbyt wielu uczniów jest to bardzo trudne. Chodzi przede wszystkim o złe nawyki ślepego wyuczania algorytmów bez rozumienia. W przyszłości 4-działaniowe kalkulatory powinny położyć temu kres. Czy tak się stanie? Te trudności z pozbywaniem się umiejętności nabytych na wcześniejszych etapach nauczania można zauważyć w wielu innych przypadkach. Ten efekt można porównać do efektu wdrukowania u ptaków. Na podstawie dość bogatej literatury mogę sformułować następujące wnioski ogólne.

1. Rozumienie operatywne może być przeszkodą, gdy w rezultacie długotrwałego ćwiczenia „sprawności" nastąpi wdrukowanie [Dałek i inni,

1993]

2. Rozumienie formalne na pewnym etapie rozwoju może łatwo doprowadzać do zrozumienia strukturalnego [Klekowski, 2002]

3. Rozumienie formalne może być zrozumiałe "krok po kroku", ale nieprze konujące i nie iść w parze ze zrozumieniem strukturalnym [Dąbrowski,

1986, 1992; Nowecki 1978]

4. Wyobraźnia przestrzenna bardzo pomaga w rozwijaniu zrozumienia struk turalnego, jak również po prostu dobry przekaz wizualny lub dobrze dobrana animacja [Mostowski 1992, 1996, 1999, 2000, 2005]

5. Bardzo pomaga w rozwijaniu rozumienia strukturalnego nauczanie czyn nościowe, które opisuje Metafora Krygowskiej [Chmurska 2002; Mostowski 2003]

Na poparcie tych wniosków podaję poniżej kilka dodatkowych odniesień do literatury, gdzie te sprawy są przedstawione bardzo dobitnie i wyjątkowo zwięźle. Ta zwięzłość ma swoją zaletę - te teksty są łatwo dostępne i można je polecić studentom do przeczytania w krótkim czasie.

[1] Chmurska Katarzyna.: 2002, Dwie kozy i samochód, NiM nr 44, zima, s. 12.

[2] Dałek K. i inni.: 1993, Przekonania i przeświadczenia w sprawie kalkulatorów, NiM nr 8,zima, s. 11.

[3] Dąbrowski M.: 1986, O dowodach kamyczkowych, Matematyka, s. 25-35.

[4] Dąbrowski M.:1986, O sile przekonującej dowodów w nauczaniu matematyki (rozprawa doktorska), Instytut Matematyki UW. Wacław Zawadowski

[5] Dąbrowski M.:1992, O akceptowalności dowodów przez uczniów, Dydaktyka Matematyki nr 14, s. 5-70.

[6] Klekowski M.: 2002, Jeszcze raz o dwóch kozach i samochodzie, NiM nr 44, zima, s. 13.

[7] Mostowski K.: 2005, Dowody i Refutacje, NiM nr 56, zima s. 27-28.

[8] Mostowski K.: 2003, Grafy Engla jako modele lokalne w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa, NiM nr 45, wiosna, s. 14-17.

[9] Mostowski K.: 2003, Metafora Krygowskiej, NiM nr 48, zima, s. 15-17.

[10] Mostowski K.: 2000, Łączność dodawania strzałek, NiM nr 36, zima, s.25.

[11] Mostowski K.:1999, Wyobraźnia przestrzenna, NiM nr 29/30, wiosna/lato s. 9-10 - 1999,

[12] Mostowski K.: 1999, Magia liczb, NiM 31/32, jesień/zima, s. 32-33.

[13] Mostowski K.:1996, Odległość między skośnymi przekątnymi ścian sześcianu, NiM nr 20, zima, s.15

[14] Mostowski K.:1992, Pitagoras tańczy na ekranie, NiM nr 3,jesień, s. 15.

[15] Nowecki B.: 1978, Badania nad efektywnością kształtowania pojęć twierdzenia i dedukcji u uczniów klas licealnych w zmodernizowanym nauczaniu

matematyki, WN WSP Kraków.

Autor pracuje w Akademii Podlaskiej w Siedlcach.

 

Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."