Interpretacja i nadinterpretacja

Chciałbym nawiązać do artykułów J. Koniora

O posługiwaniu się przez uczniów znakiem równo-ści, Matematyka 4/1994, W. Zawadowskiego Czy matematyka daje nam języki Matematyka 3/1996

i listu, który napisał S. Turnau O użyciu znaku równości, Matematyka 1 /1995. Są tam opisywane przypadki niepoprawnego użycia znaku równości, jak np.

2+3 = 5 + 7 = 12+3 =15

i rozważania, co w takiej sytuacji zrobić: poprawiać, czy przymknąć oczy? Czy są to tylko drobne niepo- prawności, czy po prostu błędy?

Chciałbym zwrócić uwagę na bardzo podobne trudności, związane z użyciem słowa „cyfra", które znam z własnej nauczycielskiej praktyki. Znane kryterium podzielności przez 3 zwykle jest podawane krótko „suma cyfr podzielna przez 3". Nie jest to całkiem poprawne, bo działanie sumy odnosi się do liczb, a nie do cyfr. A jednak mimo to, wyrażenie „suma cyfr" tak utrwaliło się w mowie i piśmie, że prostowanie lego byłoby raczej szaleństwem. Chyba lepiej nie mówić o „przymykaniu oczuć na takie niepoprawności, ale po prostu uznać je za wyrażenia idiomatyczne, przyjęte i ogólnie akceptowane zwroty, tak jak czynią w takich przypadkach lingwiści. Zwroty idiomatyczne zauważamy na ogół dopiero wtedy, gdy uczymy się obcego języka. W rodzimym języku zwykle ich nie zauważamy. Wyrażenie „suma cyfr" da się lubić. Jest trafnie zgrabne. Lepiej zostawić je w spokoju i nie nazywać błędem.

Na kłopoty z jednoznaczną interpretacją słowa „cyfra" zwraca uwagę drugi artykuł pytaniem „Czy największa liczba dwucyfrowa jest równa 99, czy 98? Gdy cyfra znaczy cyfra - znak - to trzeba odpowiedzieć 98. Gdy cyfra znaczy miejsce dziesiętne, to 99.

Moje przygody w szkole podstawowej ze zna-czeniem słowa „cyfra" były inne. Rozwiązywałem zadanie: za pomocą dwóch cyfr „1" i „2" zapisz największą liczbę trzycyfrową. Po dyskusji przyję-to, że 221 jest najtrafniejszą odpowiedzią. Ale wtedy ktoś podniósł sprawę, że nie rozumie dlaczego nie 222, przecież nie zostało powiedziane w zadaniu, żc obie cyfry mają wystąpić w zapisie, a w liczbie 222 wystarczy tylko jedna z nich. Po dłuższych sporach, gdzie występowały różne pytania, np czy dopuścić 222 + 1, ktoś zawołał mam 999. Myśleliśmy, żc to niedorzeczne, mimo, że był to bystry uczeń. I był. Powiedział ..dwa razy dwa razy dwieście dwadzieścia dwa plus sto jedenaście". Po chwi-lowej, zdziwionej akceptacji, wysunięta została opinia, że to rozwiązanie nie jest do przyjęcia, gdyż zostały tu użyte, poza cyframi, również znaki działań. Gdy jednak zastanowiono się nad konstrukcją systemów pozycyjnych, to zauważono, że w każdej liczbie składającej się z więcej niż jednej cyfry, ukryte są działania matematyczne: np.

21 =20+1 = 2*10+1, (2 dziesiątki + 1)

(Wiedziały jeszcze niedawno o tym niektóre dzieci w klasie czwartej szkoły podstawowej. Obecnie, po różnych dość brutalnych eksperymentach na programie matematyki, już nie byłbym tego taki pewien.)

Warto też zaznaczyć jakie propozycje w ogóle nic były brane pod uwagę, np. ani 2221, ani 211 ani np. 222+ 1 + 1, które być może wystąpiłyby w starszych klasach.

Nic doszliśmy do jednoznacznej konkluzji. Lekcję z tym wydarzeniem uznałem wtedy za coś w rodzaju klęski. Czułem, że to nie była strata czasu, ale nie byłem pewien. Ale teraz inaczej na to patrzę. Pytanie, z ilu cyfr składa się największa liczba dwucyfrowa, może nie być tylko żartem. Przez żarty tego rodzaju wkraczamy w inny, głębszy, chociaż zabawny, sposób patrzenia na sprawę. Uczniowie wtedy słuchają uważnie co mówią inni, szukają dalekich skojarzeń, formułują słownie to, co zauważyli. Bronią swoich racji. Takie książki jak Nowy umysł cesarza Penrose'a, czy Goedel, Escher, Bach I Hofstadtera mają w sobie coś z takiego stylu. To też jest matematyka.

To nie był stracony czas. To była dobra lekcja.

I dla uczniów i dla mnie.

Krzysztof Mostowski