Dowody na talerzu

Dowody "na talerzu"image002Takie dowody były atrakcją matematycznego Festiwalu w Warszawie na Ursynowie. Opisuje to w tym zeszycie Irena Słowik. Te dowody dotyczyły kątów w kole, a dokładniej tego, że kąt środkowy i na tym samym łuku oparty kąt wpisany w kole, są sobie równe. Te dowody nie powołują się na pojęcie miary kąta i nie korzystają z żadnych równań. Opierają się na spostrzeganiu symetrii. Można więc te dowody przedstawiać bardzo wcześnie, jeszcze w szkole podstawowej. Symetria, a zwłaszcza symetria osiowa względem osi pionowej jest bardzo pierwotnym atrybutem naszych spostrzeżeń wzrokowych, a nawet naszych biologicznych krewnych – wszystkich ssaków. Wcześnie zauważone symetrycznie wycelowane oczy tygrysa są ważnym ostrzeżeniem i wezwaniem do ucieczki. A kto ich nie zauważy temu biada.


100 8049Dowody na talerzuNa początek dobrze jest zerknąć na okładkę NiMa nr 58, lato 2006, no i trzeba przyjąć postawę Sherlocka Holmesa, tj. uruchomić naszą spostrzegawczość. Kolejność spostrzeżeń jest taka. Najpierw koło. To już mamy w ręku w postaci talerzyka. Zaznaczamy kropką środek koła. Rysujemy jakikolwiek kąt środkowy. Ten kąt ma wierzchołek w środku koła. Teraz zaznaczamy łuk na którym oparty jest ten kąt środkowy. Mamy do wyboru dwie opcje: ten krótszy łuk lub ten dłuższy. Na początek wybieramy ten krótszy. Teraz rysujemy dowolny kąt wpisany oparty na tym łuku, ale na początek taki, że środek koła jest między ramionami tego kąta wpisanego. Jego wierzchołek, z definicji, jest punktem na okręgu, czyli na brzegu koła. Teraz rysujemy odbicia środka koła po kolei w ramionach kąta wpisanego. Uzupełniamy rysunek tak, aby otrzymać dwa romby. No i jesteśmy w domu. Przekątne narysowanych rombów są to właśnie ramiona kąta wpisanego, a przekątne rombu dzielą jego kąty na połowy100 8048Dowody na talerzu. Romb, który nie jest kwadratem ma tylko dwie osie symetrii. Te osie zawierają jego przekątne. Pitagorejczycy opierali swoje spostrzeżenia matematyczne na zauważonych symetriach. To, co zauważone po grecku nazywa się "theorema", a po polsku "teoremat", a greckie słowo "theorein" znaczy po prostu widzieć. Czy widzisz już, że ten kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od tego środkowego kąta? Jeżeli tak, to "theorema", jesteś pitagorejczykiem.Ale to nie koniec. Pracuj dalej. Narysuj teraz ten kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku w inny sposób. Czy nadal widzisz, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, opartego na tym samym łuku?