Kalkulatory

Krzysztof Mostowski, Wacław Zawadowski

Przyjęcie do stałego użytku nawet najprostszego kalkulatora zmienia nasz sposób myślenia o liczbach. Uczymy się wtedy dialogu z kalkulatorem. Działania dwuargumentowe możemy wtedy traktować jednoargumentowo, działając na ostatni wynik w formie

plus dwa,

razy trzy,

podziel przez pięć,

minus cztery,

weź pierwiastek ...

Tak wyrażone funkcje są różnowartościowe, a więc odwracalne. To jest bardzo ważna, istotna własność jednoargumentowo potraktowanych działań arytmetycznych. Ważny jest też całościowy obraz tych operacji, przedstawionych wizualnie na osi liczbowej. Liczby traktujemy wizualnie jako punkty na osi liczbowej, patrzymy na liczby całościowo, używamy do porównań, umieszczając je na osi liczbowej i do obliczeń wieloetapowych z odpowiednim zapisem, lub wyobrażeniem tego zapisu w głowie. Takie rachowanie z kalkulatorem w ręku może być czymś przyjemnym. Widzimy też, że dialog z kalkulatorem dzieje się w języku liczb dziesiętnych.

Zbiór liczb dziesiętnych jest często pomijany przy wyliczaniu kolejnych rozszerzeń zbioru liczb naturalnych. Kolejne etapy w drodze do liczb rzeczywistych są zwykle prezentowane w taki sposób:

liczny naturalne N

liczby całkowite C (w innych krajach często oznaczane przez Z)

liczby wymierne W (w innych krajach często oznaczane przez Q)

liczby rzeczywiste R .

Brakuje na tej liście liczb dziesiętnych D.

Kalkulatory posługują się przede wszystkim liczbami dziesiętnymi. Liczby dziesiętne łatwo umieszcza się na osi liczbowej i łatwo też jest ustalić, która z nich jest mniejsza, a która większa. Wartości ułamków najłatwiej porównujemy przez podzielenie licznika przez mianownik i otrzymanie odpowiedniego przybliżenia dziesiętnego. Dlatego w dzisiejszych czasach najlepsza droga do liczb rzeczywistych prowadzi poprzez liczby dziesiętne, a nie liczby wymierne, postrzegane jako wartości ułamków:

N → C → D → W → R ,

N ⊂ C ⊂ D ⊂ W ⊂ R .

W Podstawie Programowej liczby dziesiętne nie są wymieniane po imieniu. Ale na samym początku działu Matematyka, stwierdza się tam wyraźnie, że posługiwanie się kalkulatorami wypiera rachowanie w starym stylu i pozwala na ominięcie żmudnych rachunków, co przyczynia się do tego, że matematyka może stać się atrakcyjna dla szerszego kręgu uczniów. Liczby dziesiętne same wysuwają się wtedy na pierwszy plan. Posługiwanie się kalkulatorem jest silnym bodźcem do wykonywania sporej liczby rachunków i oszacowań "w głowie". Liczby dziesiętne pozwalają "osaczyć na osi liczbowej" inne liczby rzeczywiste takie jak

1⁄3, 2⁄3, 5⁄7, √2, √3, ∛2 i wiele innych, takich jak π oraz e.

Potrzebne jest wtedy w ogóle inne spojrzenie na liczby rzeczywiste. Bardziej geometryczne, np. poprzez rozwinięcia dziesiętne nieskończone, traktowane jak adresy punktów na osi liczbowej.

 

Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."