Tryptyk Cavalieri

032 P1010451 CustomTryptyk, to jest interesująca figura w przestrzeni, składająca się z trzech ostrosłupów kwadratowych. Te ostrosłupy są luźno połączone dwiema krawędziami bocznymi. Można je rozłożyć i zobaczyć 'w pełnej krasie' lub złożyć i wtedy wypełniają sześcian. Te ostrosłupy mają kwadratowe podstawy, a ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Dwie ściany boczne to są półkwadraty. Gdy przyjąć, że krawędzie sześcianu mają długość 1, to wtedy te półkwadraty mają dwa boki długości 1, a pozostały bok jest długości "pierwiastek z dwóch". Dwie pozostałe ściany mają boki długości odpowiednio 1, "pierwiastek z dwóch", "pierwiastek z trzech".

Tryptyk nie jest wielościanem eulerowskim, bo ma krawędzie, w których spotykają się cztery ściany, a w wielościanie eulerowskim, w każdej krawędzi spotykają się dwie ściany (tylko dwie). Każda krawędź jest częścią wspólną dwóch ścian. Tryptyk ma dwie takie poczwórne krawędzie. Czy widzisz je?

Tryptyk przywodzi na myśl wzór na objętość ostrosłupa: "jedna trzecia wysokości razy podstawa".

032 P1010456 CustomModel Tryptyku można stosunkowo łatwo uzyskać z kartki formatu A4, dzięki temu, że wymiary kartki A4 zostały zaprojektowane w taki sposób, aby po złożeniu na pół w poprzek dłuższego boku powstał prostokąt podobny do całej kartki A4. Proporcja boków powinna wyrażać się wtedy liczbą "pierwiastek z dwóch". Rzeczywiście, wg normy DIN kartka A4 ma wymiaryt 297 na 210 mm. Jeżeli podzielisz 297 przez 210, oczywiscie na kalkulatorze, to otrzymasz liczbę 1,414285714...  czyli pierwiastek z dwóch z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

Typtyk ten posłużył uczniowi Galileusza Bonaventurze Cavalieri do odkrycia tego, że funkcja kwadratowa ma jako funkcę pierwotną funkcję sześcienną podzieloną przez 3

(x^3)/3. To jest sformułowanie w języku współczesnym. Cavalieri nie dysponował tym językiem, w jego czasach funkcja kwadratowa to była rodzina kwadratów, która integruje przekroje kwadratowe jednego z tych ostrosłupów tryptyku.

 

Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."

Załączniki:
Download this file (Tryptyk Cavalieri, model w sześcianie, mały.pdf)Tryptyk Cavalieri, model w sześcianie, mały.pdf[ ]387 kB
Download this file (Tryptyk Cavalieri, model z 3 części.pdf)Tryptyk Cavalieri, model z 3 części.pdf[Model do wycięcia i złożenia]34 kB