Cztery etapy w rozwoju matematyki

i co z tego wynika

Pierwszy etap rozwoju matematyki w Europie, o którym mamy trochę informacji to matematyka pitagorejczyków. Była to garść spostrzeżeń o liczbach i prostych figurach geometrycznych, takich jak trójkąty, kwadraty, prostokąty i w ogóle wielokąty, koła. Spostrzeżenia te były oparte na zauważaniu rozmaitych symetrii obiektów, ornamentów, figur geometrycznych, kreślonych na piasku lub innych powierzchniach. To były lata 550-400 p.n.e. Do przedstawiania liczb pitagorejczycy używali liczebników kamyczkowych, ustawiali w różnych konfiguracjach kamyczki. Figury geometryczne spostrzec można było jako kawałki ornamentów.

Nie było wtedy jeszcze logiki, argumentacje w matematyce, tj. arytmetyce i geometrii musiały być oparte na wizualnej intuicji i symetrii. Można się tylko domyślać, jak to było, bo nie zachowały się żadne pisane źródła o argumentacjach matematycznych z tej epoki. Wtedy też rozwinęło się przekonanie, że obiekty matematyczne są ideami, mają byt idealny, a nie materialny.

(Platon, Państwo Księga IV, 510)

Logika, jako sztuka wyprowadzania zdań prawdziwych z innych uznanych za prawdziwe, powstała przeszło 100 lat później w szkole Eleatów, około roku 400 p.n.e. Zasadniczą zasadą logiki sformułowaną przez Eleatów była zasada "wyłączonego środka": nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie.

Niedługo po roku 400 p.n.e. powstał w Akademii Platońskiej program oparcia całej poważnie traktowanej wiedzy na niewielu zdaniach przyjętych za prawdziwe i pewne. Z nich właśnie powinno się wyprowadzić całą resztę w oparciu o reguły logiki. Dotyczyło to przede wszystkim matematyki, wiedzy o liczbach i figurach.

Pitagorejskie teorematy to były widzenia. "Theoreo" (θεωρηω) po grecku znaczy widzieć, "theorema" znaczy "to co zobaczone". Te teorematy, czyli "widzenia" oparte były, jak można się domyślać po ich późniejszych opisach, przede wszystkim na spostrzeganiu odpowiednich symetrii: osiowych, obrotowych, przesunięciowych i innych bardziej wyrafinowanych symetrii. Greckie ornamenty z tych czasów mają bardzo wyrafinowane symetrie, różnego rodzaju. Można się o tym przekonać chociażby patrząc na zachowane z czasów greckich ornamenty w architekturze, na wazach greckich i na drobnych przedmiotach.

W Akademii Platońskiej te pitagorejskie widzenia już nie wystarczały. Te teorematy trzeba było jeszcze uzasadnić przez wywód logiczny ze zdań przyjętych już za pewne i prawdziwe. I tak się zaczęła matematyka w stylu platońskim i euklidejskim, głównie geometria i bardzo prosta teoria liczb. Nastąpił drugi etap, uporządkowanej dedukcji opartej na kilku metaforach przyjętych jako określenia i zdaniach przyjętych jako prawdziwe. Ten etap rozpoczęły Elementy Euklidesa słynną metaforą "punktem lub znakiem iest, co nie ma żadnej części, lub co nie ma żadnej wielkości" (około roku 300 p.n.e, polskie tłumaczenie Józefa Czecha, 1817).

Elementy Euklidesa

Początek Elementów Euklidesa. Podstawowe metafory określające punkty, linie proste, powierzchnie i kąty

Elementy Euklidesa2

Najstarszy, niedawno znaleziony fragment Elementów Euklidesa, strzępek papirusa na którym można odczytać twierdzenie V z księgi drugiej Elementów (fragment pochodzący z pierwszego wieku naszej ery)

 

Ten dedukcyjny styl objął przede wszystkim geometrię. Liczby i arytmetyka były ogarnięte przez ten styl tylko w niewielkim stopniu. To następowało powoli dopiero w wieku XVII głównie przez prace Fermata, które przez długi czas były mało znane, potem Eulera, a z początkiem XIX wieku Gaussa. Fermat nie notował drogi dojścia do swoich spostrzeżeń o liczbach. Systematycznie rozpoczął to dopiero Euler.

W XVII wieku nastąpił też przełom kartezjański w geometrii i algebrze. W dziełku które Kartezjusz dołączył jako dodatek do „Rozprawy o Metodzie", Kartezjusz przytoczył swoje rozważania o geometrii w notacji, która dzisiaj jest znana pod mało precyzyjną nazwą szkolnej algebry. Jednak zamiast liczb rzeczywistych, których jeszcze nie było w XVII wieku, Kartezjusz używał długości. Wszystkie inne wielkości związane z figurami geometrycznymi sprowadzał do zależności między długościami. Powstał wtedy nowy język dla geometrii, język wielomianów. Rozpoczął się trzeci etap rozwoju matematyki.

Geometria Kartezjusza

Geometria Kartezjusza została napisana jako dodatek do "Rozprawy o metodzie". Wszystkie problemy geometryczne Kartezjusz sprowadza do czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania.

O dziesięcinie

Z drugiej strony, jeszcze u schyłku XVI wieku, w roku 1585, Simon Stevin napisał krótką notatkę „O dziesięcinie" („De Thiende"). Zauważył, że skoro dla pomnożenia przez 10 dopisujemy po prostu zero z prawej strony liczebnika, to dlaczego by nie zapisywać dzielenia przez dziesięć w podobny sposób, dopisując do liczebnika zero z lewej strony...

W ten sposób powołał do istnienia system zapisywania liczb dziesiętnych, który przyniósł ogromne ułatwienia w rachunkach. Zauważono, że podobne ujednolicenie interwałów skali muzycznej, gdzie oktawę dzieli się na dwanaście "równoodległych" punktów dałoby również wielkie ułatwienia w układaniu muzyki. Sto lat później, w muzyce tę ideę wykorzystał Jan Sebastian Bach i stworzył olbrzymią literaturę muzyczną na dobrze utemperowany fortepian, którą podziwiamy do dziś.

Liczby dziesiętne nie przyjmowały się równie gładko. Za to kartezjańska idea wielomianu jest tak powszechna dzisiaj, że nawet nikt tego już nie zauważa. Wielomian pierwotnie był trudnym pojęciem. Jak sama nazwa wskazuje polegał na dodawaniu do siebie wielkości różnej natury, długości do powierzchni, a te z kolei do objętości lub jeszcze innych wielkości innej natury. Kartezjusz napisał, że nic go nie obchodzą te różne „miana" wielkości. Po prostu wszystko sprowadza do długości, a żeby było prościej to już nawet nie pisze, że to są długości. Dla Kartezjusza liczby to były długości odcinków, kawałków linii prostej. Poprzez tę metaforę rozszerzył pojęcie liczby i "różnej natury wielkosći" na wszystkie takie, które można przedstawić obrazkowo jako długości. Z natury rzeczy były to więc, mówiąc językiem współczesnym liczby rzeczywiste nieujemne.

Dla Kartezjusza i dla wielu innych liczby to były też po prostu punkty na osi liczbowej, odkładające odpowiednie długości "na prawo od zera", czyli na linii prostej na której początek to był punkt zero. Był też zaznaczony punkt odpowiadający liczbie jeden wyznaczający długość jednostkową. Cała reszta liczb u Kartezjusza usadawiała się na prawo od zera, zgodnie z tymi dwoma wyróżnionymi punktami. Gdy w rachunkach wypadała liczba ujemna, traktowano to tak, jakby piłka wypadła "na out". I tak już zostało przez prawie dwieście lat. Pełne uznanie dla drugiej połowy osi z liczbami rzeczywistymi, tej ujemnej, przyszło dopiero w XIX wieku. Kropkę nad „i" postawili prawie jednocześnie Cantor i Dedekind pod koniec XIX wieku. Rozpoczął się wtedy etap czwarty.

Styl, który obecnie dochodzi do głosu można nazwać stylem neokartezjańskim. To jest styl w którym budujemy pojęcie liczby rzeczywistej przy pełnej interpretacji geometrycznej. Przyjmujemy metaforę, że liczba rzeczywista to jest punkt na osi liczbowej. Liczby wymierne, to są wtedy punkty wyznaczone przez wartości ułamków, a liczby dziesiętne to są punkty wyznaczone przez takie ułamki, które mają w mianowniku pewne potęgi liczby dziesięć. Liczby dziesiętne można określić geometrycznie, niezależnie od ułamków. Liczby dziesiętne wyznaczają bardzo regularny rytm punktów wśród liczb rzeczywistych na osi. Liczby dziesiętne pozwalają wyznaczyć położenie każdego ułamka wśród liczb rzeczywistych na osi liczbowej. W tym celu wystarczy podzielić licznik przez mianownik, w układzie dziesiętnym. Niektóre ułamki nie są liczbami dziesiętnymi np. . To na ogół wiemy. Jednocześnie odkrywamy co raz to nowe interesujące liczby takie jak , , , π, e, liczba złota Φ, i inne, zawsze pokazując ich miejsce na osi przez odpowiednie przybliżenia liczbami dziesiętnymi. Czynimy tak przy stałym użyciu kalkulatorów – po prostu dlatego, aby nie tracić czasu i nie plątać się w rachunkowych pomyłkach. Dzisiaj dla nas w XXI wieku, liczby rzeczywiste są pojęciem geometrycznym.

W konstrukcjach geometrycznych używamy cyrkla, linijki, półkwadratów do kreślenia równoległych i prostopadłych i koniecznie kalkulatora, do porównywania liczb, a więc długości odcinków (zgodnie z metaforą Kartezjusza).

Od czasów Gaussa już nie machamy tylko cyrklem i linijką. Układamy odpowiednie równanie, rozwiązujemy to równanie i dopiero na podstawie odpowiedniej formułki, którą daje rozwiązanie, bierzemy do ręki kalkulator i przyrządy do rysowania. Nie boimy się też układu współrzędnych. Dwie proste prostopadłe z odpowiednio zaznaczonym rytmem punktów całkowitych i dziesiętnych są tak samo dobrą figurą na płaszczyźnie, jak trójkąty, kwadraty, prostokąty, równoległoboki i cała klasyczna reszta. Gdy tylko są "pod ręką", używamy też programów komputerowych do rysowania figur geometrycznych.

Jest ważne żeby dobrze uchwycić różnice między tymi czterema stylami w rozwoju społeczno historycznym w matematyce. To jest ważne w obecnej dyskusji społecznej nad restrukturyza¬cją matematyki szkolnej. Matematyka się zmienia. Zmienia się podobnie jak język pod naciskiem codziennego użytkowania, a tak, jak język ojczysty, jest potrzebna jako ważne narzędzie myślenia, porozumiewania się, wyjaśniania i projektowania.

Nauczanie szkolne może przechodzić te wszystkie etapy, w wielu szczegółach i zawirowa-niach historycznych. Ale wiele z nich może i powinno omijać. Tak, jak to jest językiem ojczystym. Możemy uczyć o wdzięcznych archaizmach języka polskiego, o Mikołaju Rey'u i Janie Kochanowskim z czystej ciekawości i z zainteresowania historią języka ojczystego. Ale władać powinniśmy przede wszystkim językiem współczesnym. Tego powinniśmy się uczyć przede wszystkim i w taki sposób aby, "pobudzać, ponęcać i powabiać".

Nie powinniśmy uczyć formalnej struktury matematyki, nawet pod postacią skromnych regułek, zanim nasi uczniowie nie zrozumieją po co im to. Nie można uczniom wdrukowywać przekonania, że matematyki uczymy się tylko do egzaminu. Tylko zapamiętując formułki, bez troski o rozumienie.

Tak się nie uczy dzisiaj żadnego języka. Zawsze trzeba uczyć współczesnego języka, funkcjonującego tu i teraz, synchronicznie. Nie uczymy się polskiego, czy angielskiego rozpoczynając od Chryzostoma Paska, czy Szekspira. Chcemy mówić tak jak mówią tymi językami ludzie dzisiaj.

To samo trzeba odnieść do matematyki. Uczyć trzeba matematyki takiej, jaka jest używana współcześnie, synchronicznie, tak aby każdy kawałek matematyki dawał uczniom intelektualną lub praktyczną korzyść, rozszerzającą jego moc kognitywną i sprawność działania.

A czym są dzisiaj figury geometryczne i w ogóle geometria?

Najczęstszym określeniem figury geometrycznej występującym w podręcznikach jest takie: "figura to jest zbiór punktów na płaszczyźnie lub w przestrzeni". To bardzo rozszerza pojęcie figury geometrycznej poza tradycyjny obraz tego pojęcia, który stanowią trójkąty, prostokąty, wielokąty, kąty i koła okręgi i tym podobne kształty.

Czym są liczby i algebra?

Jako odpowiedź na to pytanie podajemy cytat z jednego z wydań bardzo popularnego na świecie podręcznika algebry Birkhoff 'a i McLane'a (był wydany po polsku):

"algebra zaczyna się od poznawania sztuki manipulowania sumami liczb, ich iloczynami i potęgami. Reguły dopuszczalne przy tych przekształceniach są dla wszystkich liczb takie same. Można więc przy tych przekształceniach zastąpić liczby literami. Okazuje się, że te przekształcenia mogą być zastosowane z sensem do różnych rodzajów liczb. A potem okazuje się, że te same reguły przekształcania liczb mogą być zastosowane do obiektów, które w ogóle nie są liczbami. Badamy zbiory, dowolnej natury takie, że na ich elementach określone są operacje spełniające pewne podstawowe warunki. To jest algebra."

Te liczby, które rozważamy w szkole to są kolejne rozszerzenia zbioru liczb naturalnych, aż do zbioru liczb zespolonych.

Mamy taki wzrastający ciąg zbiorów:

Zbiór liczb naturalnych N,

Zbiór liczb całkowitych C (na świecie najczęściej oznaczany literą Z, od Zahlen)

Zbiór liczb dziesiętnych D (często niestety pomijany w polskich podręcznikach)

Zbiór liczb wymiernych (ułamkowych) W (najczęściej na świecie oznaczany przez Q)

Zbiór liczb postaci a+b , gdzie a i b są wymierne, a, b є Q, oznaczany Q( )

(a i b są elementami Q. Liczby postaci a+b , to są te liczby, które można wykreślić jako odcinki za pomocą cyrkla i linijki)

Zbiór liczb algebraicznych (to są pierwiastki wielomianów o współczynnikach wymiernych)

Zbiór liczb rzeczywistych (punkty na osi liczbowej)

Zbiór liczb zespolonych Z (na świecie najczęściej oznaczany literą C, od complex numbers)

W tym krótkim eseju nie możemy przedstawić wszystkiego co istotne. Dlatego bardzo zachęcamy do wertowania literatury i różnych miejsc w internecie.

Przede wszystkim warto spojrzeć na dyskusję L. Schwartza z H. Steinhausem w Matematyce,

Matematyka 53 zeszyt 5 (1998), str. 270-278

i do artykułu W. Zawadowski, "Matematyka a logika, A.Mostowski i jego poglądy na związki matematyki i logiki", NiM 45, 2003

Ewangelilsta Torricelli, Appendix, czyli dodatek do dzieła "O wymierzaniu paraboli", 1644

oraz

"Euklidesa Początków Geometryi Ksiąg Ośmioro" to jest sześć pierwszych, jedenasta i dwunasta z dodanymi przypisami dla pożytku młodzi akademickiey wytłumaczone przez Józefa Czecha, wydanie drugie, Wilno 1817.

i

przeszukać odpowiednie hasła w internecie.

 

Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."