Czy ocenianie przez zdobywanie sprawności może być zastosowane w nauczaniu matematyki?

Propozycja oceniania przez zdobywanie sprawności nie jest niczym nowym. Parę ładnych lat temu, w Matematyce, maj-czerwiec 1992, Małgorzata Mikołajczyk zaproponowała dla szkoły podstawowej listę umiejętności do zdobywania przez uczniów klas I-III i osobno IV-V i VI-VIII.

Każda z tych umiejętności, tak jak sprawności harcerskie, była związana z pewnym tytułem do zdobycia i odpowiednią nazwą.

W tym artykule postaram się uzasadnić tezę, że ten właśnie styl zaproponowany przez Mikołajczyk, może być z powodzeniem zastosowany w szkole i w kształceniu nauczycieli, gdy matematykę będziemy uprawiać z pełnym zastosowaniem prostych kalkulatorów i w ogóle technologii informacyjnej. Co więcej, zastosowanie kalkulatorów od samego początku nauki o liczbach w nauczaniu wczesnoszkolnym może w bardzo korzystny sposób zmienić styl nauczania matematyki. Może się to stać wtedy, gdy nauczyciel z odpowiednim przygotowaniem będzie uczył wstępnej arytmetyki z kalkulatorem i interaktywnie.

Ponadto przy takim stylu nauczania możliwość wykorzystania starszych uczniów do nauczania młodszych. Taka organizacja pracy rozwija szeroko rozumiane umiejętności kluczowe i może mieć duże walory pedagogiczne, zachęcać do współpracy, przejmowania odpowiedzialności za naukę podopiecznych, rozwijanie dociekliwości. Uważam, że odpowiedź na tytułowe pytanie jest pozytywna. Warto tego spróbować.

Np. w klasach I-III Małgorzata Mikołajczyk proponuje takie sprawności i związane z tym tytuły:

Liczek

1. Liczy do 100 do przodu i wstecz po 4, 5, 6,7

2. Nie pomyli się w tabliczce mnożenia do 25

3. Zapisze 5 podyktowanych działań i poda ich wyniki

Sprzedawca

1. Sprawnie liczy do 1000.

2. Sprzedaje towary na litry, kilogramy, metry, tuziny.

3. Poprawnie nalicza należność za zakupiony towar, wydaje resztę, wystawia rachunki (pisanie liczb słowami).

klasy IV-V

Milioner

1. Sprawnie wykonuje różne obliczenia pieniężne do 1 miliona.

2. Rozwiązuje cztery podane zadania tekstowe.

3. W danym tekście wszystkie liczby w zapisie rzymskim poda cyframi arabskimi.

4. Sprawnie oblicza procenty.

Kartezjańczyk

1. Na płaszczyźnie z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych zaznaczy zbiór punktów, które spełniają określone warunki.

2. Zaprojektuje urządzenie pokoju lub sali lekcyjnej, zakoduje dane w postaci współrzędnych.

3. Punkty o podanych współrzędnych zaznaczy w różnych układach współrzędnych.

4. Wie kim był, gdzie i kiedy żył Kartezjusz.

Klasy VI-VIII

Projektant

1. Przeprowadzi 5 dowolnie wybranych konstrukcji geometrycznych (wpisywanie i opisywanie okręgów, kreślenie stycznych itp.)

2. Znajdzie symetrie podanych figur.

3. Zaprojektuje dowolną figurę o zadanym typie symetrii.

4. Powiększy w zadanej skali niezbyt skomplikowany rysunek.

5. Poda wynik przekształcenia danych figur przez obrót, przesunięcie, jednokładność, symetrię osiową.

Sobieradek

1. Potrafi posługiwać się ogólnoszkolnym planem lekcji i kolejowym rozkładem jazdy.

2. Zmierzy wysokość drzewa.

3. Potrafi posługiwać się kalkulatorem.

4. Obmyśli metodę i wykona model kąta prostego.

5. Opracuje preliminarz wycieczki klasowej.

To było prawie 20 lat temu i było dostosowane do wtedy obowiązującego programu nauczania. Już wtedy Sobieradek powinien posługiwać się kalkulatorem, ale dopiero w ówczesnej klasie VIII. Te umiejętności sformułowane są w zasadzie na poziomie przeciętnego ucznia. Każdą z tych umiejętności powinno zdobyć jak najwięcej osób w klasie. Lista umiejętności radykalnie zmienia sytuację zdolnego ucznia, bowiem tradycyjny system nauki klasowej, gdzie tempo pracy dostosowane jest do przeciętnego ucznia, hamuje rozwój jednostek zdolniejszych, zmusza je do bezczynności umysłowej.

Ale mogą być też sprawności wykraczające ponad wymagania programowe. Zaproponowano m.i. takie:

Badacz matematyki starożytnej, Szachista, Informatyk, Mistrz Origami.

Podaję ten obszerny prawie dosłowny cytat, aby czytelnik miał konkretne wyobrażenie o systemie zaproponowanym przez Małgorzatę Mikołajczyk. Ten system może funkcjonować obok tradycyjnego i może być wprowadzany stopniowo, w miarę nabywania wprawy przez nauczyciela lub nauczycieli w danej szkole i przyzwyczajania się do niego szerokiej społeczności uczniowskiej. Istotne jest nawiązanie do doświadczenia i tradycji funkcjonującej w Harcerstwie i przywołanie jednego z najwybitniejszych pedagogów polskich Aleksandra Kamińskiego. Te krótkie referencje są bardzo znaczące dla tych, co znają te tradycje. Innym trzeba to wyjaśnić bardziej szczegółowo. Otóż istotą zdobywania sprawności było przyjmowanie przez starszych pewnej odpowiedzialności za młodszych. Do tego jest potrzebna pewna organizacja pionowa wg starszeństwa (vertical grouping). Takiej organizacji w tradycyjnej szkole, gdzie podstawową jednostką jest klasa złożona z rówieśników, po prostu nie ma. Nauczyciel nie może liczyć na pomoc starszych uczniów bez zaangażowania kolegi i bez zmiany ustalonego porządku w szkole, gdzie każda godzina lekcyjna idzie wg pewnego planu dość ściśle przestrzeganego, a wszelkie działania wychodzące poza ten porządek mogą się odbywać raczej po lekcjach. Są na świecie szkoły gdzie jest możliwe częściowe przełamywanie tego porządku, ale występuje to rzadko.

System zdobywania sprawności ma jeszcze jeden aspekt milcząco rozumiany przez tych co przeszli dobrą szkołę w Harcerstwie. Można krótko powiedzieć, że ten aspekt jest dobrze opisany w książce Mark Twain'a w epizodzie malowania płotu przez Tomka Sawyer'a. Jest też opisany w książkach Kamyka. Wzbudzenie zainteresowania jest pewną sztuką, która w naturalny sposób przychodzi, gdy młodsi znajdują sobie odpowiednie wzory u starszych, a starsi przyjmują pewną odpowiedzialność za kierowanie młodszymi. W dobrze ustawionych drużynach harcerskich funkcjonowało to znakomicie. Może to być wykorzystane również w szkole, nie tylko w organizacjach takich jak Harcerstwo.

Czy warto tego próbować? Gdy zostaniemy przy tradycyjnych programach nauczania, to nie jest to konieczne. Ale te tradycyjne pogramy i systemy nauczania zaniedbują to, co jest niezwykle istotne dla edukacji do prawdziwego, realistycznie pojmowanego dorosłego życia. Zaniedbują stosowanie kalkulatorów, tych najprostszych i tych trochę bardziej wyrafinowanych, graficznych, komputerów z odpowiednimi programami, odpowiednich ogólnie dostępnych programów z sieci.

Ogólnie biorąc technologia informacji i komunikacji, krótko TIC, nie jest wykorzystywana w odpowiednio intensywny sposób. Tradycyjna organizacja pracy w szkole nie sprzyja temu. Często nauczyciel nie może dobrze zrozumieć sprawności w stosowaniu TIC, które niektórzy uczniowie w jego klasach już mają opanowane i nie może tego wykorzystać. Na ten aspekt sprawy zwraca uwagę Kenneth Wilson w swoich tekstach pod nazwą "Redesigning Education".

Gdy dopuścimy możliwość wykorzystania struktury pionowej w szkole, wtedy nauczyciel w każdej klasie może mieć kilku asystentów do pomocy i może korzystać z pomocy odpowiednio przygotowanych do tego starszych uczniów. Taki system powinien być też wykorzystany w kształceniu nauczycieli.

A więc na początek spróbujmy, jak by to wyglądało dla początkowego wprowadzenia najprostszego kalkulatora do początkowej arytmetyki w roku 2011.

Wprowadzimy dla każdej sprawności trzy stopnie wtajemniczenia. Np.

 

Kalkulator

Pierwszy stopień Wie, że powtarzane użycie znaku równości = przy mnożeniu na kalkulatorze powtarza działanie przez pierwszy argument, ale przy pozostałych trzech działaniach: dodawania, odejmowania i dzielenia, +, -, ÷ , powtarzane użycie znaku równości powoduje powtórzenie działania przez drugi argument. Potrafi to wykorzystać do obliczenia po ilu latach 100 zł złożone w banku na 10% rocznie podwoi się. Potrafi znaleźć jaki procent trzeba by zażądać od banku, aby kapitał podwoił się po 5 latach.

Wie jaka jest największa liczba którą "rozumie" kalkulator i co się stanie gdy doda do niej liczbę jeden.

Drugi stopień Potrafi notować wyniki działań na kalkulatorze w sposób interaktywny. Np. w taki sposób

2+3 =

5

=

8

=

11

=

14

etc.

2×3 =

6

=

12

=

24

=

48

etc.

Potrafi liczby zapisane w okienku kalkulatora zaznaczyć kropką na osi liczbowej.

Używając tego lub podobnie interaktywnego dialogu z kalkulatorem potrafi znaleźć w jakim dniu tygodnia przypadną jego osiemnaste urodziny.

Wie, że użycie dwóch znaków, jeden po drugim: ÷ = daje w wyniku odwrotność liczby (być może w pewnym przybliżeniu), np.

2 ÷ =

0.5

÷ =

2

÷ =

0.5

÷ =

2

etc. (w pierwszej linijce jest wpis z klawiatury, w drugiej odpowiedź kalkulatora, w kolejnych nieparzystych wpis, w kolejnych parzystych odpowiedź kalkulatora. W ten sposób zabawa z kalkulatorem (lub praca, jak kto woli) zamienia się w grę interaktywną ucznia z kalkulatorem).

Potrafi narysować te kolejno pojawiające się wyniki na osi liczbowej.

Potrafi ustalić, czy kalkulator dostępny w jego telefonie komórkowym działa w podobny sposób, czy inaczej.

Wie jaka jest największa liczba którą "rozumie" kalkulator i co się stanie gdy poprosi o jej odwrotność, np.

99999999 ÷ =

?

 

Trzeci stopień Potrafi nauczyć pewną grupkę kolegów umiejętności. potrzebnych na stopień pierwszy i drugi, tak aby zdobyli te stopnie sprawności.

 

Na pewno możemy to próbować zastosować w klasach nauczania początkowego. Ale nauczyciel musi dobrać te stopnie wtajemniczenia do konkretnych możliwości klasy. Może je trochę poluzować lub zaostrzyć. Ale powinien stopniowo przekazywać swoją rolę jako "korepetytora" dla pierwszej kadrowej grupy uczniów w ich ręce, a samemu przyjmować rolę nadrzędną i za dużo nie mówić.

 

W podobny sposób możemy zaprojektować wymagania na stopień, który może się nazywać np. Kreślarz. Jak zawsze w konkretnych przypadkach początkowego stosowania tego systemu te wymagania musi aprobować lub sam ustalić nauczyciel, który podejmuje się wprowadzenia tej innowacji.

Podam dla równowagi trochę inny wariant tej geometrycznej sprawności niż ten zalecany w roku 1992.


Mistrz Półkwadratu

Pierwszy stopień

Potrafi rysować za pomocą półkwadratu proste figury płaskie np, prostokąt, kwadrat, odcinki (proste) prostopadłe, odcinki (proste) równoległe. Wie, że proste prostopadłe to takie, że jedna jest osią symetrii drugiej. Narysuje oś liczbową i potrafi na niej umieścić np. niektóre ułamki i inne liczby. Potrafi zbadać czy są w zasięgu znaki, które mają oś symetrii, np. niektóre litery, jak np. litera E, napisy, ornamenty.

Drugi stopień

Za pomocą półkwadratu, potrafi narysować cień w równoległych promieniach słońca np. sześcianu i innych prostych figur przestrzennych. Potrafi narysować za pomocą półkwadratu trójkąt równoboczny. Narysuje np. kilka siatek sześcianu lub prostopadłościanu do złożenia bez kleju. Rysuje zmniejszenia i powiększenia figur za pomocą jednokładności.

Trzeci stopień

Jak zwykle: samodzielnie nauczy pewną grupkę innych, tego co sam już umie jako Mistrz Półkwadratu pierwszego i drugiego stopnia.

 

Mogą być później ustalone inne warianty, np. Kreślarz Cabri (Kózka, C.a.R., Compass & Ruler, Euklides), Kreślarz Kartezjusz (używa Inkscape).

 

Inne specjalności mogą być takie:

Mistrz Wykresów Funkcji (Opanuje np. program "wykresy funkcji online" lub "GeoGebra" z sieci i potrafi je zastosować do przybliżonego rozwiązywania równań),

Mistrz Trójkąta Pascala (rozumie budowę trójkąta Pascala, potrafi go wygenerować za pomocą arkusza kalkulacyjnego, rozumie znaczenie symboli nPr i nCr )

 

Artykuł Małgosi Mikołajczyk przyszedł trochę za wcześnie. Nie ma też zachęcającej nazwy. Zdobywanie sprawności wg. pomysłu Kamińskiego, to nie jest tylko lista umiejętności. To jest pewien system pracy starszych uczniów i takich, którzy nauczyli się czegoś "co w ich oczach warto", z tymi którzy też są chętni. Istniał też pewien rytuał przechodzenia przez kolejne wtajemniczenia w danej na ogół dość skromnej dziedzinie. Wiązało się to ze zdobywaniem pewnego tytułu i oznaki, którą można było sobie przyszyć na rękawie i się z tym obnosić.

To są istotne cechy tej metody (por. wspomniane malowanie płotu przez Tomka Sawyer'a). Ta metoda jest pożyteczna np. wtedy gdy pojawi się pewna prosta metoda na coś i nauczyciel sam nie może i nie powinien poświęcać na to za dużo czasu, ale ma pod swoją pieczą takich, co się tego już nauczyli i czekają na okazję pokazania swoich osiągnięć. Będą rozwijać przy takiej okazji umiejętności kluczowe. W klasycznej organizacji pracy szkoły nie ma do tego wielu okazji.

Te sprawy trzeba przedyskutować i przemyśleć z ewentualnymi chętnymi nauczycielami i ich przełożonymi, dyrektorami szkół, którzy mają wyrazić zgodę na taką stopniowo wprowadzaną innowację.

Równolegle do okazji zdobywania umiejętności rachunkowych powinna być okazja rozwijania wyobraźni wizualnej i koniecznie musi być ten moment łatwego konkretnego wejścia na pierwszy stopień wtajemniczenia dla każdej sprawności. W odpowiednim momencie można wprowadzić sprawność Fotograf, bardzo ważną w dzisiejszym życiu dorosłym. Ustalić różne etapy w tej dziedzinie na różnych szczeblach nauczania. Ta umiejętność bardzo rozwija wyobraźnię wizualną, bardzo potrzebną w matematyce nie tylko ogólnie w życiu dorosłym.

 

literatura

M. Mikołajczyk, Matematyka nr 3, maj-czerwiec 1992

K. Wilson and Benett Daviss, Redesigning Education, John Macrae Book, Henry Holt & Company, 1994

 

Aby pobrać załącznik kliknij prawym przyciskiem myszy na tytule pliku i "Zapisz jako..."